1. Решите уравнение 2 sin²x - 3 sinx + 1 = 0 на отрезке [0; 2π], используя замену переменной.

Решение:

Введем замену переменной: пусть \( y = \sin x \). Тогда уравнение примет вид:

\( 2y^2 - 3y + 1 = 0 \)

1. Решим это квадратное уравнение относительно \( y \). Дискриминант \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \).
2. Корни: \( y_1 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 \) и \( y_2 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \).
3. Теперь вернемся к замене \( y = \sin x \):
• Случай 1: \( \sin x = 1 \). На отрезке \( [0; 2\pi] \) решением является \( x = \frac{\pi}{2} \).
• Случай 2: \( \sin x = \frac{1}{2} \). На отрезке \( [0; 2\pi] \) решениями являются \( x = \frac{\pi}{6} \) и \( x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2}, x = \frac{\pi}{6}, x = \frac{5\pi}{6} \)