2. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(x) = x³ - 6x² + 9x + 1.

Решение:

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции найдем ее производную и определим знаки производной.

1. Найдем производную функции: \( f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 9x + 1) = 3x^2 - 12x + 9 \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 3x^2 - 12x + 9 = 0 \).
3. Разделим уравнение на 3: \( x^2 - 4x + 3 = 0 \).
4. Решим квадратное уравнение. Корни: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = 3 \).
5. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:
• При \( x < 1 \), например \( x = 0 \), \( f'(0) = 9 > 0 \) — функция возрастает.
• При \( 1 < x < 3 \), например \( x = 2 \), \( f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 < 0 \) — функция убывает.
• При \( x > 3 \), например \( x = 4 \), \( f'(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 9 = 48 - 48 + 9 = 9 > 0 \) — функция возрастает.

Ответ: Функция возрастает на интервалах \( (-\infty; 1) \) и \( (3; +\infty) \). Функция убывает на интервале \( (1; 3) \).