6. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² и y = 4.

Решение:

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = x^2 \) и \( y = 4 \), сначала найдем точки их пересечения.

1. Приравняем уравнения: \( x^2 = 4 \).
2. Решим полученное уравнение: \( x = \pm \sqrt{4} \), то есть \( x = -2 \) и \( x = 2 \).
3. Площадь фигуры можно вычислить как интеграл разности верхней и нижней функций по промежутку между точками пересечения. Верхняя функция — \( y = 4 \), нижняя — \( y = x^2 \).
4. Формула площади: \( S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) dx \).
5. Вычислим интеграл:
• \( \int (4 - x^2) dx = 4x - \frac{x^3}{3} \).
• Теперь подставим пределы интегрирования:
• \( S = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} = \left( 4(2) - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 4(-2) - \frac{(-2)^3}{3} \right) \)
• \( S = \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( -8 - \frac{-8}{3} \right) = \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( -8 + \frac{8}{3} \right) \)
• \( S = 8 - \frac{8}{3} + 8 - \frac{8}{3} = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48 - 16}{3} = \frac{32}{3} \).

Ответ: \( \frac{32}{3} \)