1. Решите уравнение \(\log_2 (x^2 - 14x) = 5\).

Решение:

Для решения уравнения \(\log_2 (x^2 - 14x) = 5\) используем определение логарифма.

1. Ограничение на область определения: Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: \(x^2 - 14x > 0\).
2. \(x(x - 14) > 0\). Это неравенство выполняется, когда \(x < 0\) или \(x > 14\).
3. Применим определение логарифма: Если \(\log_b a = c\), то \(a = b^c\).
4. В нашем случае: \(x^2 - 14x = 2^5\).
5. \(x^2 - 14x = 32\).
6. Перенесем все члены в одну сторону: \(x^2 - 14x - 32 = 0\).
7. Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 196 + 128 = 324\).
8. \(\sqrt{D} = \sqrt{324} = 18\).
9. Найдем корни:
10. \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + 18}{2} = \frac{32}{2} = 16\).
11. \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - 18}{2} = \frac{-4}{2} = -2\).
12. Проверим корни на соответствие области определения:
13. Для \(x_1 = 16\): \(16 > 14\), условие выполняется.
14. Для \(x_2 = -2\): \(-2 < 0\), условие выполняется.

Ответ: \(x = 16\), \(x = -2\).