8. Найти интегралы: a) \(\int (x^3 - 6x^2) dx\) б) \(\int_{0}^{4} \sqrt{x} dx\)

Решение:

а) Найдем неопределенный интеграл \(\int (x^3 - 6x^2) dx\)

1. Используем правило интегрирования степенной функции \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\).
2. \(\int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4}\).
3. \(\int -6x^2 dx = -6 \int x^2 dx = -6 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = -6 \cdot \frac{x^3}{3} = -2x^3\).
4. Объединяем результаты: \(\int (x^3 - 6x^2) dx = \frac{x^4}{4} - 2x^3 + C\), где \(C\) — константа интегрирования.

б) Найдем определенный интеграл \(\int_{0}^{4} \sqrt{x} dx\)

1. Представим \(\sqrt{x}\) как \(x^\frac{1}{2}\).
2. Найдем первообразную: \(\int x^\frac{1}{2} dx = \frac{x^\frac{1}{2}+1}{\frac{1}{2}+1} = \frac{x^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} x^\frac{3}{2}\).
3. Применим формулу Ньютона-Лейбница \(\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\), где \(F(x)\) — первообразная.
4. \(\int_{0}^{4} \sqrt{x} dx = \left[ \frac{2}{3} x^\frac{3}{2} \right]_0^4 = \frac{2}{3} (4^\frac{3}{2}) - \frac{2}{3} (0^\frac{3}{2})\).
5. \(4^\frac{3}{2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8\).
6. \(\frac{2}{3} \cdot 8 - 0 = \frac{16}{3}\).

Ответ: а) \(\frac{x^4}{4} - 2x^3 + C\); б) \(\frac{16}{3}\).