7. Вычислить: 1) \(3^{-2} \cdot 81^\frac{1}{4}\) 2) \((\frac{1}{4})^{-1}\) \( \cdot 25^\frac{1}{2}\) 3) \(\log_3 6 + \log_3 \frac{3}{2}\)

Решение:

1) Вычислим \(3^{-2} \cdot 81^\frac{1}{4}\)

1. Представим \(81\) как степень тройки: \(81 = 3^4\).
2. \(3^{-2} \cdot (3^4)^\frac{1}{4} = 3^{-2} \cdot 3^{4 \cdot \frac{1}{4}} = 3^{-2} \cdot 3^1 = 3^{-2+1} = 3^{-1}\).
3. \(3^{-1} = \frac{1}{3}\).

2) Вычислим \((\frac{1}{4})^{-1} \cdot 25^\frac{1}{2}\)

1. \((\frac{1}{4})^{-1} = 4\).
2. \(25^\frac{1}{2} = \sqrt{25} = 5\).
3. \(4 \cdot 5 = 20\).

3) Вычислим \(\log_3 6 + \log_3 \frac{3}{2}\)

1. Используем свойство логарифма: \(\log_b x + \log_b y = \log_b (xy)\).
2. \(\log_3 (6 \cdot \frac{3}{2}) = \log_3 (\frac{18}{2}) = \log_3 9\).
3. Так как \(9 = 3^2\), то \(\log_3 9 = 2\).

Ответ: 1) \(\frac{1}{3}\); 2) 20; 3) 2.