2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функции: \(y = -x^2 + 16\), \(y = 0\)

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции \(y = f(x)\) и осью \(Ox\) (где \(y=0\)), находится с помощью определенного интеграла \(A = \int_a^b |f(x)| dx\), где \(a\) и \(b\) — точки пересечения графика с осью \(Ox\).

1. Найдем точки пересечения параболы \(y = -x^2 + 16\) с осью \(Ox\) (где \(y=0\)):
2. \(-x^2 + 16 = 0\).
3. \(x^2 = 16\).
4. \(x = \pm 4\). Таким образом, \(a = -4\) и \(b = 4\).
5. Определим знак функции на интервале \((-4, 4)\). Возьмем, например, \(x=0\): \(y = -(0)^2 + 16 = 16\). Значение положительное, значит, график параболы лежит выше оси \(Ox\) на данном интервале.
6. Вычислим площадь с помощью определенного интеграла:
7. \(A = \int_{-4}^{4} (-x^2 + 16) dx\).
8. Найдем первообразную: \(F(x) = -\frac{x^3}{3} + 16x\).
9. Применим формулу Ньютона-Лейбница: \(A = F(4) - F(-4)\).
10. \(F(4) = -\frac{4^3}{3} + 16 \cdot 4 = -\frac{64}{3} + 64 = \frac{-64 + 192}{3} = \frac{128}{3}\).
11. \(F(-4) = -\frac{(-4)^3}{3} + 16 \cdot (-4) = -\frac{-64}{3} - 64 = \frac{64}{3} - 64 = \frac{64 - 192}{3} = -\frac{128}{3}\).
12. \(A = \frac{128}{3} - (-\frac{128}{3}) = \frac{128}{3} + \frac{128}{3} = \frac{256}{3}\).

Ответ: \(\frac{256}{3}\).