2. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна \(\sqrt{6}\) см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом \(60^\circ\). Найти боковое ребро пирамиды и площадь боковой поверхности.

Решение:

В правильной четырехугольной пирамиде основанием является квадрат. Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом \(\alpha\), который равен углу между боковым ребром и его проекцией на основание. Эта проекция — отрезок, соединяющий вершину основания с центром квадрата (точку пересечения диагоналей).

Пусть \(H\) — высота пирамиды, \(L\) — длина бокового ребра, \(d\) — диагональ основания, \(a\) — сторона основания.

1. Найдем длину бокового ребра (L):

1. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, боковым ребром и его проекцией (половиной диагонали основания), угол между боковым ребром и проекцией равен \(60^\circ\).
2. \(H = L \sin 60^\circ\).
3. \(\sqrt{6} = L \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\).
4. \(L = \frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 2 \sqrt{\frac{6}{3}} = 2 \sqrt{2}\) см.

2. Найдем сторону основания (a):

1. Проекция бокового ребра — это половина диагонали квадрата. Пусть \(p\) — эта проекция.
2. \(p = L \cos 60^\circ = 2 \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{2}\) см.
3. Диагональ квадрата \(d = 2p = 2 \sqrt{2}\) см.
4. Сторона квадрата связана с диагональю соотношением \(d = a \sqrt{2}\).
5. \(2 \sqrt{2} = a \sqrt{2}\).
6. \(a = 2\) см.

3. Найдем площадь боковой поверхности.

1. Боковая поверхность состоит из четырех одинаковых равнобедренных треугольников.
2. Найдем апофему (высоту боковой грани) \(h_a\). Апофема, высота пирамиды и половина стороны основания образуют прямоугольный треугольник.
3. \(h_a^2 = H^2 + (\frac{a}{2})^2\).
4. \(h_a^2 = (\sqrt{6})^2 + (\frac{2}{2})^2 = 6 + 1^2 = 6 + 1 = 7\).
5. \(h_a = \sqrt{7}\) см.
6. Площадь одной боковой грани \(S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{7} = \sqrt{7}\) см².
7. Площадь боковой поверхности \(S_{бок} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \sqrt{7}\) см².

Ответ: Боковое ребро пирамиды равно \(2\sqrt{2}\) см, площадь боковой поверхности равна \(4\sqrt{7}\) см².