3. Найдите \(\cos \alpha\), если \(\sin \alpha = \frac{8}{17}\), \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\).

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\).

1. Подставим известное значение \(\sin \alpha\): \((\frac{8}{17})^2 + \cos^2 \alpha = 1\).
2. \(\frac{64}{289} + \cos^2 \alpha = 1\).
3. Найдем \(\cos^2 \alpha\): \(\cos^2 \alpha = 1 - \frac{64}{289} = \frac{289 - 64}{289} = \frac{225}{289}\).
4. Извлечем квадратный корень: \(\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{225}{289}} = \pm \frac{15}{17}\).
5. Учитывая условие \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\) (второй квадрант), косинус имеет отрицательное значение.
6. Следовательно, \(\cos \alpha = -\frac{15}{17}\).

Ответ: \(-\frac{15}{17}\).