10. $$\int_{1}^{4} \sqrt{x} (3 - \frac{7}{x}) dx$$

Решение:

Сначала преобразуем подынтегральную функцию:

1. $$\sqrt{x} (3 - \frac{7}{x}) = 3\sqrt{x} - \frac{7\sqrt{x}}{x} = 3x^{1/2} - 7x^{1/2}x^{-1} = 3x^{1/2} - 7x^{-1/2}$$.
2. Теперь вычислим интеграл: $$\int_{1}^{4} (3x^{1/2} - 7x^{-1/2}) dx$$.
3. Найдем первообразную для каждого члена:
• Первообразная от $$3x^{1/2}$$ равна $$3 \cdot \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = 3 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} = 3 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} = 2x^{3/2}$$.
• Первообразная от $$-7x^{-1/2}$$ равна $$-7 \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} = -7 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} = -7 \cdot 2 x^{1/2} = -14x^{1/2}$$.
4. Суммарная первообразная: $$2x^{3/2} - 14x^{1/2}$$.
5. Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $$[2x^{3/2} - 14x^{1/2}]_{1}^{4}$$.
6. Подставляем пределы интегрирования: $$(2 \cdot 4^{3/2} - 14 \cdot 4^{1/2}) - (2 \cdot 1^{3/2} - 14 \cdot 1^{1/2})$$.
7. Вычисляем: $$(2 \cdot (2^2)^{3/2} - 14 \cdot 2) - (2 \cdot 1 - 14 \cdot 1) = (2 \cdot 2^3 - 28) - (2 - 14) = (2 \cdot 8 - 28) - (-12) = (16 - 28) + 12 = -12 + 12 = 0$$.

Ответ: 0