3. $$\int_{-2}^{1} (x^2 + 2x + 3) dx$$

Решение:

Вычислим определенный интеграл $$\int_{-2}^{1} (x^2 + 2x + 3) dx$$. Сначала найдем первообразную для каждого члена подынтегральной функции:

1. Первообразная от $$x^2$$ равна $$\frac{x^3}{3}$$.
2. Первообразная от $$2x$$ равна $$2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$$.
3. Первообразная от $$3$$ равна $$3x$$.
4. Суммарная первообразная: $$\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x$$.
5. Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $$[\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x]_{-2}^{1}$$.
6. Подставляем пределы интегрирования: $$(\frac{1^3}{3} + 1^2 + 3 \cdot 1) - (\frac{(-2)^3}{3} + (-2)^2 + 3 \cdot (-2))$$.
7. Вычисляем: $$(\frac{1}{3} + 1 + 3) - (\frac{-8}{3} + 4 - 6) = (4 + \frac{1}{3}) - (4 - \frac{8}{3} - 2) = \frac{13}{3} - (2 - \frac{8}{3}) = \frac{13}{3} - (\frac{6}{3} - \frac{8}{3}) = \frac{13}{3} - (-\frac{2}{3}) = \frac{13}{3} + \frac{2}{3} = \frac{15}{3} = 5$$.

Ответ: 5