4. $$\int_{1}^{3} (x^{-2} + 1) dx$$

Решение:

Вычислим определенный интеграл $$\int_{1}^{3} (x^{-2} + 1) dx$$. Найдем первообразную для каждого члена подынтегральной функции:

1. Первообразная от $$x^{-2}$$ равна $$\frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1} = -\frac{1}{x}$$.
2. Первообразная от $$1$$ равна $$x$$.
3. Суммарная первообразная: $$-\frac{1}{x} + x$$.
4. Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $$[-\frac{1}{x} + x]_{1}^{3}$$.
5. Подставляем пределы интегрирования: $$(-\frac{1}{3} + 3) - (-\frac{1}{1} + 1)$$.
6. Вычисляем: $$(-\frac{1}{3} + \frac{9}{3}) - (-1 + 1) = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$$.

Ответ: $$\frac{8}{3}$$