11. $$\int_{0}^{3} \sqrt{x+1} dx$$

Решение:

Для вычисления интеграла $$\int_{0}^{3} \sqrt{x+1} dx$$, используем замену переменной.

1. Пусть $$u = x+1$$. Тогда $$du = dx$$.
2. Изменяем пределы интегрирования:
• При $$x=0$$, $$u=0+1=1$$.
• При $$x=3$$, $$u=3+1=4$$.
3. Интеграл становится: $$\int_{1}^{4} \sqrt{u} du = \int_{1}^{4} u^{1/2} du$$.
4. Находим первообразную: $$\frac{u^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2}$$.
5. Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $$[rac{2}{3}u^{3/2}]_{1}^{4}$$.
6. Подставляем пределы интегрирования: $$(\frac{2}{3} \cdot 4^{3/2}) - (\frac{2}{3} \cdot 1^{3/2})$$.
7. Вычисляем: $$(\frac{2}{3} \cdot (2^2)^{3/2}) - (\frac{2}{3} \cdot 1) = (\frac{2}{3} \cdot 2^3) - \frac{2}{3} = (\frac{2}{3} \cdot 8) - \frac{2}{3} = \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3}$$.

Ответ: $$\frac{14}{3}$$