8. $$\int_{1}^{2} \frac{dx}{x^3}$$

Решение:

Вычислим определенный интеграл $$\int_{1}^{2} x^{-3} dx$$.

1. Первообразная от $$x^{-3}$$ равна $$\frac{x^{-3+1}}{-3+1} = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2}x^{-2} = -\frac{1}{2x^2}$$.
2. Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $$[-\frac{1}{2x^2}]_{1}^{2}$$.
3. Подставляем пределы интегрирования: $$(-\frac{1}{2(2)^2}) - (-\frac{1}{2(1)^2})$$.
4. Вычисляем: $$(-\frac{1}{2 \cdot 4}) - (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{8} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{8} + \frac{4}{8} = \frac{3}{8}$$.

Ответ: $$\frac{3}{8}$$