9. $$\int_{0}^{1} (5x^4 - 8x^3) dx$$

Решение:

Вычислим определенный интеграл $$\int_{0}^{1} (5x^4 - 8x^3) dx$$. Найдем первообразную для каждого члена подынтегральной функции:

1. Первообразная от $$5x^4$$ равна $$5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} = 5 \cdot \frac{x^5}{5} = x^5$$.
2. Первообразная от $$-8x^3$$ равна $$-8 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = -8 \cdot \frac{x^4}{4} = -2x^4$$.
3. Суммарная первообразная: $$x^5 - 2x^4$$.
4. Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $$[x^5 - 2x^4]_{0}^{1}$$.
5. Подставляем пределы интегрирования: $$(1^5 - 2 \cdot 1^4) - (0^5 - 2 \cdot 0^4)$$.
6. Вычисляем: $$(1 - 2) - (0 - 0) = -1 - 0 = -1$$.

Ответ: -1