12. $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x + \frac{\pi}{4}) dx$$

Решение:

Для вычисления интеграла $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x + \frac{\pi}{4}) dx$$, используем замену переменной.

1. Пусть $$u = x + \frac{\pi}{4}$$. Тогда $$du = dx$$.
2. Изменяем пределы интегрирования:
• При $$x=0$$, $$u=0 + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$$.
• При $$x=\frac{\pi}{2}$$, $$u=\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$$.
3. Интеграл становится: $$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cos(u) du$$.
4. Находим первообразную: $$\sin(u)$$.
5. Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $$[\sin(u)]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}$$.
6. Подставляем пределы интегрирования: $$\sin(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{\pi}{4})$$.
7. Вычисляем: $$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$$.

Ответ: 0