10. Вычислите \( \int_{-1}^{2} (x^2 - 6x + 9) dx \)

Решение:

Найдем первообразную для функции \( x^2 - 6x + 9 \):

\( F(x) = \int (x^2 - 6x + 9) dx = \frac{x^3}{3} - 6\frac{x^2}{2} + 9x = \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 9x \).

Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница \( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \):

\( \int_{-1}^{2} (x^2 - 6x + 9) dx = F(2) - F(-1) \)

\( F(2) = \frac{2^3}{3} - 3(2)^2 + 9(2) = \frac{8}{3} - 12 + 18 = \frac{8}{3} + 6 = \frac{8 + 18}{3} = \frac{26}{3} \).

\( F(-1) = \frac{(-1)^3}{3} - 3(-1)^2 + 9(-1) = \frac{-1}{3} - 3 - 9 = \frac{-1}{3} - 12 = \frac{-1 - 36}{3} = \frac{-37}{3} \).

\( F(2) - F(-1) = \frac{26}{3} - (\frac{-37}{3}) = \frac{26 + 37}{3} = \frac{63}{3} = 21 \).

Ответ: 21.