4. Дана функция f(x) = 1/3 х³ - 3x²+5х-9. Решите уравнение f'(x)=0

Решение:

Найдем производную функции \( f(x) \):

\( f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 3 \cdot 2x + 5 = x^2 - 6x + 5 \).

Теперь решим уравнение \( f'(x) = 0 \):

\( x^2 - 6x + 5 = 0 \).

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 \).

\( \sqrt{D} = \sqrt{16} = 4 \).

Найдем корни:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5 \).

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \).

Ответ: \( x = 1, x = 5 \).