6. Вычислите с помощью дифференциала (0,999)100

Решение:

Пусть \( f(x) = x^{100} \). Нам нужно вычислить \( f(0.999) \).

Возьмем точку \( x_0 = 1 \), так как \( f(1) = 1^{100} = 1 \) и \( Δx = 0.999 - 1 = -0.001 \).

Найдем производную \( f'(x) = 100x^{99} \).

Значение производной в точке \( x_0 = 1 \): \( f'(1) = 100 \cdot 1^{99} = 100 \).

Приближенное значение функции \( f(x_0 + Δx) \) можно найти по формуле:

\( f(x_0 + Δx) ≈ f(x_0) + f'(x_0) Δx \).

Подставим значения:

\( (0.999)^{100} ≈ f(1) + f'(1) · (-0.001) \)

\( (0.999)^{100} ≈ 1 + 100 · (-0.001) = 1 - 0.1 = 0.9 \).

Ответ: \( ≈ 0.9 \).