11. Вычислите \( \int_{0}^{2} \frac{1}{(2x-1)^2} dx \)

Решение:

Сделаем замену переменной. Пусть \( u = 2x - 1 \). Тогда \( du = 2 dx \), следовательно \( dx = \frac{1}{2} du \).

Изменим пределы интегрирования:

При \( x = 0 \), \( u = 2(0) - 1 = -1 \).

При \( x = 2 \), \( u = 2(2) - 1 = 3 \).

Теперь интеграл примет вид:

\( \int_{-1}^{3} \frac{1}{u^2} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_{-1}^{3} u^{-2} du \).

Найдем первообразную для \( u^{-2} \):

\( \int u^{-2} du = \frac{u^{-2+1}}{-2+1} = \frac{u^{-1}}{-1} = -\frac{1}{u} \).

Вычислим определенный интеграл:

\( \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{u} \right]_{-1}^{3} = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{3} - (-\frac{1}{-1}) \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{3} - 1 \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{3} - \frac{3}{3} \right) = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{4}{3}) = -\frac{2}{3} \).

Ответ: \( -\frac{2}{3} \).