15. ABCDA1B1C1D1- прямоугольный параллелепипед. Объем пирамиды B₁ABC равен V. Тогда объем параллелепипеда равен ...

Решение:

Объем пирамиды, основанием которой является грань прямоугольного параллелепипеда, а вершина — противоположная вершина, равен 1/3 объема параллелепипеда, если основание пирамиды — одна из граней, а вершина — точка на противоположной грани. Однако, пирамида B₁ABC имеет основанием треугольник ABC, который является половиной грани ABCD, и вершиной B₁.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен \( V_{параллелепипеда} = a · b · c \), где \( a, b, c \) — длины ребер, выходящих из одной вершины.

Объем пирамиды с основанием-треугольником и вершиной \( B_1 \): \( V_{пирамиды} = \frac{1}{3} · S_{ABC} · h \), где \( S_{ABC} \) — площадь треугольника \( ABC \), а \( h \) — высота пирамиды (расстояние от \( B_1 \) до плоскости основания).

Треугольник \( ABC \) — это прямоугольный треугольник, являющийся половиной прямоугольника \( ABCD \). Следовательно, \( S_{ABC} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} (AB · BC) \).

Высота пирамиды от вершины \( B_1 \) до плоскости основания \( ABC \) равна высоте параллелепипеда, то есть длине ребра \( AA_1 \) (или \( BB_1 \), \( CC_1 \), \( DD_1 \)). Обозначим \( AB = a \), \( BC = b \), \( BB_1 = c \).

Тогда \( V_{пирамиды} = \frac{1}{3} · (\frac{1}{2} ab) · c = \frac{1}{6} abc \).

Объем параллелепипеда \( V_{параллелепипеда} = abc \).

Если объем пирамиды равен \( V \), то \( V = \frac{1}{6} abc \).

Следовательно, \( abc = 6V \).

Таким образом, объем параллелепипеда равен \( 6V \).

Ответ: \( 6V \).