12. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x², y = 0, x = 1, x = 2.

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( y = f(x) \), осью \( Ox \) и прямыми \( x = a \) и \( x = b \), вычисляется по формуле:

\( S = \int_{a}^{b} f(x) dx \).

В данном случае \( f(x) = x^2 \), \( a = 1 \), \( b = 2 \).

\( S = \int_{1}^{2} x^2 dx \).

Найдем первообразную для \( x^2 \):

\( F(x) = \frac{x^3}{3} \).

Вычислим определенный интеграл:

\( S = F(2) - F(1) = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \).

Ответ: \( \frac{7}{3} \) квадратных единиц.