11. 7^{x-5} = 3^{x-5}

Решение:

1. Перенесём все члены уравнения в одну сторону: \( 7^{x-5} - 3^{x-5} = 0 \)
2. Если \( x-5 = 0 \), то \( 7^0 - 3^0 = 1 - 1 = 0 \). Следовательно, \( x-5=0 \) является решением.
3. Если \( x-5 \neq 0 \), разделим обе части на \( 3^{x-5} \) (так как \( 3^{x-5} \neq 0 \) ): \( \frac{7^{x-5}}{3^{x-5}} = \frac{0}{3^{x-5}} \)
4. Используем свойство степени \( \frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n \): \( (\frac{7}{3})^{x-5} = 0 \)
5. Уравнение \( (\frac{7}{3})^y = 0 \) не имеет решений, так как любая положительная степень числа \( \frac{7}{3} \) будет больше нуля.
6. Следовательно, единственное решение — из первого шага.
7. Решим \( x-5=0 \): \( x = 5 \)

Ответ: \( x = 5 \)