8. \(\frac{1}{4}\)^{x-5} = 256^x

Решение:

1. Приведём обе части уравнения к одному основанию. Так как \( \frac{1}{4} = 4^{-1} \) и \( 256 = 4^4 \), получаем: \( (4^{-1})^{x-5} = (4^4)^x \)
2. Используем свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \( 4^{-(x-5)} = 4^{4x} \) \( 4^{-x+5} = 4^{4x} \)
3. Приравняем показатели степеней: \( -x + 5 = 4x \)
4. Решим полученное линейное уравнение: \( 5 = 4x + x \) \( 5 = 5x \) \( x = 1 \)

Ответ: \( x = 1 \)