12. 2^{2x} - 12 \(\cdot\) 2^x + 32 = 0

Решение:

1. Сделаем замену переменной. Пусть \( y = 2^x \). Тогда \( 2^{2x} = (2^x)^2 = y^2 \).
2. Уравнение примет вид квадратного: \( y^2 - 12y + 32 = 0 \)
3. Решим квадратное уравнение относительно \( y \). Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 144 - 128 = 16 \)
4. Найдем корни для \( y \): \( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + 4}{2} = \frac{16}{2} = 8 \) \( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - 4}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
5. Сделаем обратную замену: \( 2^x = y \)
6. Подставим найденные значения \( y \):
• \( 2^x = 8 \) \( 2^x = 2^3 \) \( x = 3 \)
• \( 2^x = 4 \) \( 2^x = 2^2 \) \( x = 2 \)

Ответ: \( x = 2, x = 3 \)