11 Вычислите \( \int_{0}^{1} \frac{1}{(2x-1)^2} dx \)

Решение:

Для вычисления интеграла \( \int_{0}^{1} \frac{1}{(2x-1)^2} dx \), заметим, что подынтегральная функция имеет разрыв в точке \( x = 1/2 \), которая лежит внутри интервала интегрирования \( [0, 1] \). Такой интеграл является несобственным.

Разобьем интеграл на два:

\( \int_{0}^{1} \frac{1}{(2x-1)^2} dx = \int_{0}^{1/2} \frac{1}{(2x-1)^2} dx + \int_{1/2}^{1} \frac{1}{(2x-1)^2} dx \)

Рассмотрим первый интеграл:

\( \int \frac{1}{(2x-1)^2} dx \)

Сделаем замену \( u = 2x-1 \), \( du = 2dx \), \( dx = \frac{1}{2} du \).

\( \int \frac{1}{u^2} · \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{-2} du = \frac{1}{2} · \frac{u^{-1}}{-1} = -\frac{1}{2u} = -\frac{1}{2(2x-1)} \)

Теперь вычисляем несобственный интеграл:

\( \lim_{b \to 1/2^-} \left[ -\frac{1}{2(2x-1)} \right]_{0}^{b} + \lim_{a \to 1/2^+} \left[ -\frac{1}{2(2x-1)} \right]_{a}^{1} \)

\( = \lim_{b \to 1/2^-} \left( -\frac{1}{2(2b-1)} - \left(-\frac{1}{2(2 \cdot 0-1)}\right) \right) + \lim_{a \to 1/2^+} \left( -\frac{1}{2(2 \cdot 1-1)} - \left(-\frac{1}{2(2a-1)}\right) \right) \)

\( = \lim_{b \to 1/2^-} \left( -\frac{1}{2(2b-1)} + \frac{1}{2} \right) + \lim_{a \to 1/2^+} \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{2(2a-1)} \right) \)

При \( b \to 1/2^- \), \( 2b-1 \) стремится к 0 с отрицательной стороны, \( -\frac{1}{2(2b-1)} \) стремится к \( +\infty \).

При \( a \to 1/2^+ \), \( 2a-1 \) стремится к 0 с положительной стороны, \( \frac{1}{2(2a-1)} \) стремится к \( +\infty \).

Оба предела расходятся к \( +\infty \).

Ответ: Интеграл расходится.