6 Вычислите с помощью дифференциала (0,999)¹⁰⁰

Решение:

Пусть \( f(x) = x^{100} \). Тогда \( f'(x) = 100x^{99} \).
Мы хотим вычислить \( f(0.999) \).
Возьмем \( x_0 = 1 \), \( \Delta x = 0.999 - 1 = -0.001 \).

Приближенное значение функции находится по формуле:
\( f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) · \Delta x \)

\( f(1) = 1^{100} = 1 \)
\( f'(1) = 100 · 1^{99} = 100 \)

\( (0.999)^{100} \approx 1 + 100 · (-0.001) = 1 - 0.1 = 0.9 \)

Ответ: \( \approx 0.9 \)