12. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 19, а её периметр равен 46. Найдите площадь трапеции.

Решение:

• Периметр трапеции равен сумме длин всех её сторон.
• $$P = a + b + 2c$$, где $$a$$ и $$b$$ — основания, $$c$$ — боковая сторона.
• Дано: $$a = 7$$, $$b = 19$$, $$P = 46$$.
• $$46 = 7 + 19 + 2c$$.
• $$46 = 26 + 2c$$.
• $$2c = 46 - 26 = 20$$.
• $$c = 10$$.
• Боковая сторона равна 10.
• Чтобы найти площадь, нам нужна высота. Проведем высоту из вершины меньшего основания к большему.
• Отрезок, который отсекает высота на большем основании, равен $$\frac{b-a}{2} = \frac{19-7}{2} = \frac{12}{2} = 6$$.
• Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и отрезком основания.
• По теореме Пифагора: $$h^2 + 6^2 = 10^2$$.
• $$h^2 + 36 = 100$$.
• $$h^2 = 100 - 36 = 64$$.
• $$h = \sqrt{64} = 8$$.
• Высота равна 8.
• Площадь трапеции: $$S = \frac{a+b}{2} \times h = \frac{7+19}{2} \times 8 = \frac{26}{2} \times 8 = 13 \times 8 = 104$$.

Ответ: 104