13. Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 16 и 18, большая боковая сторона составляет с основание угол в 45°

Решение:

• В прямоугольной трапеции одно из боковых сторон перпендикулярно основаниям. Это и есть высота.
• Основания трапеции: $$a = 16$$, $$b = 18$$.
• Большая боковая сторона составляет с основанием угол 45°. Это означает, что другая боковая сторона (перпендикулярная основаниям) является высотой.
• Разность оснований равна разности отрезков, на которые высота делит большее основание: $$18 - 16 = 2$$.
• Проведем высоту из вершины меньшего основания к большему. Эта высота равна другому основанию, то есть 16.
• Однако, условие гласит, что БОЛЬШАЯ боковая сторона составляет угол 45°. Это означает, что высота не равна разности оснований.
• Рассмотрим трапецию ABCD, где AB || CD, AD перпендикулярно AB и CD. AB = 16, CD = 18. AD = h. BC — большая боковая сторона.
• Угол BCD = 45°.
• Проведем высоту DE к основанию CD. Треугольник BCE — прямоугольный.
• Угол BCE = 45°.
• CE = CD - ED = 18 - h.
• В прямоугольном треугольнике BCE, tg(45°) = BE/CE.
• $$1 = h / (18 - h)$$.
• $$h = 18 - h$$.
• $$2h = 18 \rightarrow h = 9$$.
• Высота трапеции равна 9.
• Площадь трапеции: $$S = \frac{a+b}{2} \times h = \frac{16+18}{2} \times 9 = \frac{34}{2} \times 9 = 17 \times 9 = 153$$.

Ответ: 153