12) Укажите первообразную функции \( f(x) = 5x^4 - 2x + 1 \)

Решение:

Первообразную функции \( F(x) \) находим, интегрируя функцию \( f(x) \) по \( x \). Используем правила интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \).

\( F(x) = \int (5x^4 - 2x + 1) dx \)

\( F(x) = 5 \int x^4 dx - 2 \int x dx + \int 1 dx \)

\( F(x) = 5 \frac{x^{4+1}}{4+1} - 2 \frac{x^{1+1}}{1+1} + x + C \)

\( F(x) = 5 \frac{x^5}{5} - 2 \frac{x^2}{2} + x + C \)

\( F(x) = x^5 - x^2 + x + C \)

В качестве первообразной можно выбрать любую функцию, соответствующую этому выражению, например, взяв \( C=0 \).

Ответ: \( x^5 - x^2 + x \)