12) Укажите первообразную функции \( f(x) = 5x^4 - 2x + 1 \)

Решение:

Для нахождения первообразной, проинтегрируем функцию \( f(x) \):

\( F(x) = \int (5x^4 - 2x + 1) dx \)

\( F(x) = 5 \int x^4 dx - 2 \int x dx + \int 1 dx \)

Используем правило интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \):

\( F(x) = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} - 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + x + C \)

\( F(x) = 5 \cdot \frac{x^5}{5} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C \)

\( F(x) = x^5 - x^2 + x + C \)

Из предложенных вариантов, ищем функцию, соответствующую \( x^5 - x^2 + x \).

1) \( 5x^5-2x^2+1 \) — Неверно.

2) \( 20x^3-2x+1 \) — Неверно (это производная).

3) \( x^4-2x+x \) — Неверно.

4) \( x^5-x^2+x \) — Верно.

Ответ: \( x^5-x^2+x \)