16) Вычислите площадь фигуры (S), ограниченной линиями \( y = 1-x^3 \), \( y = 0 \), \( x = 0 \), \( x = 1 \).

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = f(x) \), \( y = 0 \), \( x = a \), \( x = b \), вычисляется по формуле:

\( S = \int_a^b |f(x)| dx \).

В данном случае \( f(x) = 1-x^3 \), \( a=0 \), \( b=1 \).

На интервале \( [0, 1] \), \( x^3 \) изменяется от 0 до 1, поэтому \( 1-x^3 \) изменяется от 1 до 0. Следовательно, \( 1-x^3 \) неотрицательно на этом интервале.

\( S = \int_0^1 (1-x^3) dx \)

\( S = \left[ x - \frac{x^4}{4} \right]_0^1 \)

\( S = \left( 1 - \frac{1^4}{4} \right) - \left( 0 - \frac{0^4}{4} \right) \)

\( S = \left( 1 - \frac{1}{4} \right) - 0 \)

\( S = \frac{3}{4} \)

Ответ: \( \frac{3}{4} \)