9) Решите неравенство \( \frac{x+8}{(4x-1)(x-2)} \ge 0 \)

Решение:

Решим неравенство методом интервалов.

Найдем корни числителя и знаменателя:

• Числитель: \( x+8 = 0 \implies x = -8 \)
• Знаменатель: \( (4x-1)(x-2) = 0 \implies x = \frac{1}{4} \) или \( x = 2 \).

Отметим эти точки на числовой прямой: -8, 1/4, 2.

Разобьем числовую прямую на интервалы и определим знак выражения в каждом интервале:

• \( (-\infty, -8] \): Возьмём \( x = -10 \). \( \frac{-10+8}{(4(-10)-1)(-10-2)} = \frac{-2}{(-41)(-12)} = \frac{-2}{492} < 0 \)
• \( [-8, \frac{1}{4}) \): Возьмём \( x = 0 \). \( \frac{0+8}{(4(0)-1)(0-2)} = \frac{8}{(-1)(-2)} = \frac{8}{2} = 4 > 0 \)
• \( (\frac{1}{4}, 2) \): Возьмём \( x = 1 \). \( \frac{1+8}{(4(1)-1)(1-2)} = \frac{9}{(3)(-1)} = \frac{9}{-3} = -3 < 0 \)
• \( (2, \infty) \): Возьмём \( x = 3 \). \( \frac{3+8}{(4(3)-1)(3-2)} = \frac{11}{(11)(1)} = \frac{11}{11} = 1 > 0 \)

Нас интересуют интервалы, где выражение \(\ge 0 \). Это \( [-8, \frac{1}{4}) \) и \( (2, \infty) \).

Ответ: \( [-8; \frac{1}{4}) \cup (2; \infty) \)