9) Решите неравенство \( \frac{x+8}{(4x-1)(x-2)} \ge 0 \)

Решение:

Найдем корни числителя и знаменателя:

• Числитель: \( x+8 = 0 \implies x = -8 \)
• Знаменатель: \( (4x-1)(x-2) = 0 \implies x = \frac{1}{4} \) или \( x = 2 \)

Отметим эти точки на числовой прямой: \( -8, \frac{1}{4}, 2 \).

Расставим знаки на интервалах:

• \( x < -8 \): Возьмем \( x = -10 \). \( \frac{-10+8}{(4(-10)-1)(-10-2)} = \frac{-2}{(-41)(-12)} = \frac{-2}{492} < 0 \).
• \( -8 < x < \frac{1}{4} \): Возьмем \( x = 0 \). \( \frac{0+8}{(4(0)-1)(0-2)} = \frac{8}{(-1)(-2)} = \frac{8}{2} > 0 \).
• \( \frac{1}{4} < x < 2 \): Возьмем \( x = 1 \). \( \frac{1+8}{(4(1)-1)(1-2)} = \frac{9}{(3)(-1)} = \frac{9}{-3} < 0 \).
• \( x > 2 \): Возьмем \( x = 3 \). \( \frac{3+8}{(4(3)-1)(3-2)} = \frac{11}{(11)(1)} = \frac{11}{11} > 0 \).

Нас интересует \( \ge 0 \). Значит, объединяем интервалы, где знак '+', и включаем корень числителя \( -8 \). Корни знаменателя \( \frac{1}{4} \) и \( 2 \) не включаются.

\( [-8; \frac{1}{4}) \cup (2; +\infty) \).

Среди предложенных вариантов:

• 1) \( (-20;-8] \cup (2) \) — неверно.
• 2) \( [-8; \frac{1}{4}) \cup (2; +\infty) \) — верно.
• 3) \( (-\infty; 2) \) — неверно.
• 4) \( (-\infty;-8) \cup (2; +\infty) \) — неверно (не включено \( -8 \) и \( 1/4 \)).

Ответ: \( [-8; \frac{1}{4}) \cup (2; +\infty) \)