14) Найдите точку максимума функции \( y = 4x - x^2 \)

Решение:

Для нахождения точки максимума найдём первую производную функции и приравняем её к нулю.

\( y' = (4x - x^2)' = 4 - 2x \)

Приравняем производную к нулю:

\( 4 - 2x = 0 \)

\( 2x = 4 \)

\( x = 2 \)

Теперь проверим, является ли эта точка точкой максимума, используя вторую производную:

\( y'' = (4 - 2x)' = -2 \)

Так как \( y'' = -2 < 0 \), то в точке \( x = 2 \) функция имеет максимум.

Найдем значение функции в этой точке:

\( y(2) = 4(2) - (2)^2 = 8 - 4 = 4 \)

Ответ: (2; 4)