4) Найдите значение \( \sin \alpha \), если \( \cos \alpha = -\frac{1}{4} \) и \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \)

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

\( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} \)

Так как \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \), то \( \alpha \) находится во второй четверти, где синус положителен. Следовательно:

\( \sin \alpha = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4} \)

Ответ: \( \frac{\sqrt{15}}{4} \)