6) Найти корень уравнения \( \sqrt{4x^2 - 27} = -x \)

Решение:

Для решения уравнения возведём обе части в квадрат. При этом необходимо учесть условие \( -x \ge 0 \), то есть \( x \le 0 \).

\( (\sqrt{4x^2 - 27})^2 = (-x)^2 \)

\( 4x^2 - 27 = x^2 \)

\( 3x^2 = 27 \)

\( x^2 = 9 \)

\( x = \pm 3 \)

Учитывая условие \( x \le 0 \), выбираем \( x = -3 \).

Проверим подстановкой: \( \sqrt{4(-3)^2 - 27} = \sqrt{4(9) - 27} = \sqrt{36 - 27} = \sqrt{9} = 3 \). А \( -x = -(-3) = 3 \). Равенство верно.

Ответ: -3