12) Укажите первообразную функции \( f(x) = 5x^4 - 2x + 1 \) (1 балл).

Решение:

Для нахождения первообразной функции \( F(x) \) проинтегрируем данную функцию \( f(x) \):

\( F(x) = \int (5x^4 - 2x + 1) dx \)

Используем правила интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) и линейности интеграла:

\( F(x) = 5 \int x^4 dx - 2 \int x dx + \int 1 dx \)

\( F(x) = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} - 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + x + C \)

\( F(x) = 5 \cdot \frac{x^5}{5} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C \)

\( F(x) = x^5 - x^2 + x + C \).

Обычно в качестве первообразной выбирают функцию при \( C=0 \).

Ответ: \( x^5 - x^2 + x \).