20) Образующая конуса равна 18дм и составляет с плоскостью основания угол 30°. Найдите объем конуса, считая π = 3. (3балла)

Решение:

Объем конуса вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \), где \( r \) — радиус основания, \( h \) — высота конуса.

По условию, образующая \( l = 18 \) дм, угол между образующей и плоскостью основания \( \alpha = 30^\circ \).

В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом основания, высотой конуса и образующей:

1. Найдем радиус основания \( r \). Катет \( r \) лежит против угла \( \alpha = 30^\circ \).
2. \( \sin \alpha = \frac{r}{l} \)
3. \( r = l \cdot \sin \alpha = 18 \cdot \sin 30^\circ = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9 \) дм.
4. Найдем высоту конуса \( h \). Катет \( h \) прилегает к углу \( \alpha = 30^\circ \).
5. \( \cos \alpha = \frac{h}{l} \)
6. \( h = l \cdot \cos \alpha = 18 \cdot \cos 30^\circ = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \) дм.
7. Вычислим объем конуса, используя \( \pi = 3 \):
8. \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot (9)^2 \cdot (9\sqrt{3}) \)
9. \( V = 1 \cdot 81 \cdot 9\sqrt{3} = 729\sqrt{3} \) дм³

Ответ: \( 729\sqrt{3} \) дм³.