20) Образующая конуса равна 18дм и составляет с плоскостью основания угол 30°. Найдите объем конуса, считая π = 3.

Решение:

Нам дано:

• Образующая конуса \( l = 18 \) дм.
• Угол между образующей и плоскостью основания \( \alpha = 30^{\circ} \).
• \( \pi = 3 \).

Нужно найти объем конуса \( V \).

Формула объема конуса: \( V = \frac{1}{3} \pi R^2 H \), где \( R \) — радиус основания, \( H \) — высота конуса.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса \( H \), радиусом основания \( R \) и образующей \( l \). Угол между \( l \) и \( R \) равен \( \alpha = 30^{\circ} \).

В этом треугольнике:

• Высота \( H \) — противолежащий катет к углу \( \alpha \).
• Радиус \( R \) — прилежащий катет к углу \( \alpha \).
• Образующая \( l \) — гипотенуза.

Найдём \( H \) и \( R \):

\( \sin \alpha = \frac{H}{l} \Rightarrow H = l \sin \alpha \)

\( H = 18 \cdot \sin 30^{\circ} = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9 \) дм.

\( \cos \alpha = \frac{R}{l} \Rightarrow R = l \cos \alpha \)

\( R = 18 \cdot \cos 30^{\circ} = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \) дм.

Теперь найдём объем конуса:

\( V = \frac{1}{3} \pi R^2 H \)

\( V = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot (9\sqrt{3})^2 \cdot 9 \)

\( V = 1 \cdot (81 \cdot 3) \cdot 9 \)

\( V = 243 \cdot 9 \)

\( V = 2187 \) дм³.

Ответ: 3) 2187.