8) Найти корень уравнения \(\left(\frac{1}{8}\right)^{0.1x - 1} = 16\) (2 балла)

Решение:

Перепишем числа \( \frac{1}{8} \) и \( 16 \) как степени числа \( 2 \):

\( \frac{1}{8} = 2^{-3} \)

\( 16 = 2^4 \)

Подставим в уравнение:

\( (2^{-3})^{0.1x - 1} = 2^4 \)

При возведении степени в степень показатели перемножаются:

\( 2^{-3(0.1x - 1)} = 2^4 \)

\( 2^{-0.3x + 3} = 2^4 \)

Приравниваем показатели степеней:

\( -0.3x + 3 = 4 \)

\( -0.3x = 4 - 3 \)

\( -0.3x = 1 \)

\( x = \frac{1}{-0.3} = -\frac{10}{3} \)

Ответ: \(-\frac{10}{3}\).