9) Решите неравенство \(\frac{x+8}{(4x-1)(x-2)} \ge 0\) (1 балл)

Решение:

Для решения рационального неравенства \(\frac{x+8}{(4x-1)(x-2)} \ge 0\) используем метод интервалов.

1. Найдем корни числителя и знаменателя: \( x+8=0 \implies x=-8 \); \( 4x-1=0 \implies x=\frac{1}{4} \); \( x-2=0 \implies x=2 \).
2. Эти точки разбивают числовую ось на интервалы: \( (-\infty, -8], [-\infty, 1/4), (1/4, 2), (2, +\infty) \).
3. Определим знак выражения на каждом интервале, подставляя пробные значения:
   • \( x < -8 \) (например, \( x = -10 \)): \(\frac{-10+8}{(4(-10)-1)(-10-2)} = \frac{-2}{(-41)(-12)} = \frac{-2}{+492} < 0 \)
   • \( -8 \le x < \frac{1}{4} \) (например, \( x = 0 \)): \(\frac{0+8}{(4(0)-1)(0-2)} = \frac{8}{(-1)(-2)} = \frac{8}{+2} > 0 \)
   • \( \frac{1}{4} < x < 2 \) (например, \( x = 1 \)): \(\frac{1+8}{(4(1)-1)(1-2)} = \frac{9}{(3)(-1)} = \frac{9}{-3} < 0 \)
   • \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \)): \(\frac{3+8}{(4(3)-1)(3-2)} = \frac{11}{(11)(1)} = \frac{11}{11} > 0 \)
4. Так как неравенство \(\ge 0\), выбираем интервалы, где знак '+', и учитываем, что \( x = -8 \) входит в решение (числитель равен нулю), а \( x = \frac{1}{4} \) и \( x = 2 \) не входят (знаменатель равен нулю).

Ответ: \( [-8; \frac{1}{4}) \cup (2; +\infty) \).