19) Площади двух граней прямоугольного параллелепипеда равны 20см² и 45см², а длина их общего ребра 5см. Найдите объем параллелепипеда. (Збалла)

Решение:

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны \( a, b, c \). Площади граней равны \( ab, bc, ac \).

По условию, площади двух граней равны 20 см² и 45 см², а длина их общего ребра — 5 см.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: Общее ребро — \( a = 5 \) см. Тогда площади граней — \( ab = 20 \) и \( ac = 45 \).

• Из \( ab = 20 \) и \( a = 5 \), находим \( b = \frac{20}{5} = 4 \) см.
• Из \( ac = 45 \) и \( a = 5 \), находим \( c = \frac{45}{5} = 9 \) см.
• Проверим третье ребро: \( bc = 4 \cdot 9 = 36 \) см². Эта площадь не дана в условии, но это возможно.
• Объем параллелепипеда: \( V = abc = 5 \cdot 4 \cdot 9 = 180 \) см³

Случай 2: Общее ребро — \( b = 5 \) см. Тогда площади граней — \( ab = 20 \) и \( bc = 45 \).

• Из \( ab = 20 \) и \( b = 5 \), находим \( a = \frac{20}{5} = 4 \) см.
• Из \( bc = 45 \) и \( b = 5 \), находим \( c = \frac{45}{5} = 9 \) см.
• Объем параллелепипеда: \( V = abc = 4 \cdot 5 \cdot 9 = 180 \) см³

Если бы общим ребром было \( c = 5 \), то площади были бы \( ac = 20 \) и \( bc = 45 \) (или наоборот), что дало бы \( a = 4 \) и \( b = 9 \) (или наоборот), и тот же объем.

Ответ: 180 см³.