12. v 2 log_3 x - log_3 (x-1) = 1 + log_3 5

Решение:

1. Перенесем все логарифмы в левую часть: \( 2 \log_3 x - \log_3 (x-1) - \log_3 5 = 1 \)
2. Применим свойства логарифмов: \( \log_3 \frac{x^2}{5(x-1)} = 1 \)
3. Представим правую часть в виде логарифма: \( \log_3 \frac{x^2}{5(x-1)} = \log_3 3 \)
4. Приравняем аргументы логарифмов: \( \frac{x^2}{5(x-1)} = 3 \)
5. Решим квадратное уравнение: \( x^2 = 15(x-1) \)
6. \( x^2 = 15x - 15 \)
7. \( x^2 - 15x + 15 = 0 \)
8. Найдем дискриминант: \( D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 225 - 60 = 165 \)
9. Найдем корни: \( x_1 = \frac{15 + \sqrt{165}}{2} \), \( x_2 = \frac{15 - \sqrt{165}}{2} \)
10. Учтем ОДЗ: \( x > 0 \) и \( x-1 > 0 \), то есть \( x > 1 \).
11. \( x_2 = \frac{15 - \sqrt{165}}{2} \approx \frac{15 - 12.8}{2} \approx 1.1 \) (Подходит)
12. \( x_1 = \frac{15 + \sqrt{165}}{2} \approx \frac{15 + 12.8}{2} \approx 13.9 \) (Подходит)

Ответ: x₁ = \( \frac{15 + \sqrt{165}}{2} \), x₂ = \( \frac{15 - \sqrt{165}}{2} \).