4.110. log_{1/6} ((16-20x)/(3x+4)) = -2

Решение:

1. Перейдем от логарифмического уравнения к показательному: \( \frac{16-20x}{3x+4} = (1/6)^{-2} \)
2. Вычислим правую часть: \( (1/6)^{-2} = 6^2 = 36 \)
3. Уравнение примет вид: \( \frac{16-20x}{3x+4} = 36 \)
4. Умножим обе части на \( 3x+4 \), учитывая, что \( x \ne -4/3 \): \( 16-20x = 36(3x+4) \)
5. \( 16-20x = 108x + 144 \)
6. Перенесем члены с x в одну сторону, а числа в другую: \( 16 - 144 = 108x + 20x \)
7. \( -128 = 128x \)
8. \( x = \frac{-128}{128} \)
9. \( x = -1 \)
10. Проверим ОДЗ: \( \frac{16-20x}{3x+4} > 0 \). Для \( x=-1 \): \( \frac{16-20(-1)}{3(-1)+4} = \frac{16+20}{-3+4} = \frac{36}{1} = 36 > 0 \) (подходит).

Ответ: x = -1.