4.89. log_7 (x^2-2x-8) = 1

Решение:

1. Представим правую часть в виде логарифма: \( \log_7 (x^2-2x-8) = \log_7 7 \)
2. Приравняем аргументы логарифмов: \( x^2-2x-8 = 7 \)
3. Перенесем все в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: \( x^2-2x-8-7 = 0 \)
4. \( x^2-2x-15 = 0 \)
5. Найдем дискриминант: \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 \)
6. Найдем корни: \( x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)
7. \( x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)
8. Проверим ОДЗ: \( x^2-2x-8 > 0 \). Для \( x=5 \): \( 25-10-8 = 7 > 0 \) (подходит). Для \( x=-3 \): \( 9+6-8 = 7 > 0 \) (подходит).

Ответ: x₁ = 5, x₂ = -3.