12) \(x(x^2+2x+1) = 2(x+1)\)

Решение:

Заметим, что \( x^2+2x+1 \) является полным квадратом: \( (x+1)^2 \).

Уравнение примет вид:

\[ x(x+1)^2 = 2(x+1) \]

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

\[ x(x+1)^2 - 2(x+1) = 0 \]

Вынесем общий множитель \( (x+1) \) за скобки:

\[ (x+1) [ x(x+1) - 2 ] = 0 \]

Раскроем скобки во второй части:

\[ x(x+1) = x^2 + x \]

Теперь подставим это обратно:

\[ (x+1) [ x^2 + x - 2 ] = 0 \]

Разложим квадратный трехчлен \( x^2 + x - 2 \) на множители. Найдем его корни:

\[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]

\[ x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \]

\[ x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \]

\[ x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \]

Значит, \( x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2) \).

Исходное уравнение теперь выглядит так:

\[ (x+1)(x-1)(x+2) = 0 \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

\( x+1 = 0 \) или \( x-1 = 0 \) или \( x+2 = 0 \)

\( x = -1 \) или \( x = 1 \) или \( x = -2 \)

Ответ: \( x = -1, x = 1, x = -2 \).