3) \(\frac{1}{(x-2)^2} - \frac{1}{x-2} = 6\)

Решение:

Введем замену переменной. Пусть \( y = \frac{1}{x-2} \). Тогда \( y^2 = \frac{1}{(x-2)^2} \).

Уравнение примет вид:

\[ y^2 - y = 6 \]

Перенесем все члены в одну сторону:

\[ y^2 - y - 6 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение относительно \( y \).

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \]

Найдем корни для \( y \):

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3 \]

\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = -2 \]

Теперь вернемся к исходной переменной \( x \).

Случай 1: \( y_1 = 3 \)

\[ \frac{1}{x-2} = 3 \]

\[ 1 = 3(x-2) \]

\[ 1 = 3x - 6 \]

\[ 3x = 7 \]

\[ x = \frac{7}{3} \]

Случай 2: \( y_2 = -2 \)

\[ \frac{1}{x-2} = -2 \]

\[ 1 = -2(x-2) \]

\[ 1 = -2x + 4 \]

\[ 2x = 3 \]

\[ x = \frac{3}{2} \]

Проверим, что знаменатели \( x-2 \) не равны нулю для полученных корней.

При \( x = \frac{7}{3} \), \( x-2 = \frac{7}{3} - 2 = \frac{7-6}{3} = \frac{1}{3} \neq 0 \).

При \( x = \frac{3}{2} \), \( x-2 = \frac{3}{2} - 2 = \frac{3-4}{2} = -\frac{1}{2} \neq 0 \).

Ответ: \( x = \frac{7}{3}, x = \frac{3}{2} \).