4) \(\frac{1}{(x-3)^2} = \frac{3}{x-3} + 4\)

Решение:

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

\[ \frac{1}{(x-3)^2} - \frac{3}{x-3} - 4 = 0 \]

Сделаем замену переменной: пусть \( y = \frac{1}{x-3} \). Тогда \( y^2 = \frac{1}{(x-3)^2} \).

Уравнение примет вид:

\[ y^2 - 3y - 4 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение относительно \( y \).

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \]

Найдем корни для \( y \):

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = 4 \]

\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = -1 \]

Теперь вернемся к исходной переменной \( x \).

Случай 1: \( y_1 = 4 \)

\[ \frac{1}{x-3} = 4 \]

\[ 1 = 4(x-3) \]

\[ 1 = 4x - 12 \]

\[ 4x = 13 \]

\[ x = \frac{13}{4} \]

Случай 2: \( y_2 = -1 \)

\[ \frac{1}{x-3} = -1 \]

\[ 1 = -1(x-3) \]

\[ 1 = -x + 3 \]

\[ x = 2 \]

Проверим, что знаменатели \( x-3 \) не равны нулю для полученных корней.

При \( x = \frac{13}{4} \), \( x-3 = \frac{13}{4} - 3 = \frac{13-12}{4} = \frac{1}{4} \neq 0 \).

При \( x = 2 \), \( x-3 = 2 - 3 = -1 \neq 0 \).

Ответ: \( x = \frac{13}{4}, x = 2 \).