13. На высоте АН равнобедренного треугольника АВС с прямым углом А взята точка О. Докажите, что треугольники АОВ и АОС равны.

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный, \( \angle A = 90^{\circ} \), \( AH \) — высота, \( O \) — точка на \( AH \).

Доказать: \( \triangle AOB = \triangle AOC \).

Доказательство:

Так как \( \triangle ABC \) — равнобедренный и \( \angle A = 90^{\circ} \), то он является равнобедренным прямоугольным треугольником. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.

\( AH \) — высота, проведенная к основанию \( BC \). Следовательно, \( AH \) является также медианой, то есть \( BH = HC \), и биссектрисой, то есть \( \angle BAH = \angle CAH \).

Рассмотрим \( \triangle AOB \) и \( \triangle AOC \):

1. \( AB = AC \) (по условию, \( \triangle ABC \) — равнобедренный).
2. \( AO = AO \) (общая сторона).
3. \( \angle OAB = \angle OAC \) (так как \( AH \) — биссектриса \( \angle A \)).

По двум сторонам и углу между ними (II признак равенства треугольников), \( \triangle AOB = \triangle AOC \).

Что и требовалось доказать.