15. В равнобедренном треугольнике угол при основании на 27° меньше угла, противолежащего основанию. Найдите углы треугольника.

Решение:

Пусть \( \angle B = \angle C = x \) — углы при основании равнобедренного треугольника \( \triangle ABC \).

Угол, противолежащий основанию, — \( \angle A \).

По условию, угол при основании на 27° меньше угла, противолежащего основанию:

\( x = \angle A - 27^{\circ} \) \( \implies \angle A = x + 27^{\circ} \).

Сумма углов треугольника равна 180°:

\( \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \)

\( (x + 27^{\circ}) + x + x = 180^{\circ} \)

\( 3x + 27^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( 3x = 180^{\circ} - 27^{\circ} \)

\( 3x = 153^{\circ} \)

\( x = \frac{153^{\circ}}{3} = 51^{\circ} \).

Углы при основании: \( \angle B = \angle C = 51^{\circ} \).

Угол, противолежащий основанию: \( \angle A = 51^{\circ} + 27^{\circ} = 78^{\circ} \).

Проверка: \( 51^{\circ} + 51^{\circ} + 78^{\circ} = 102^{\circ} + 78^{\circ} = 180^{\circ} \).

Ответ: Углы треугольника равны 78°, 51°, 51°.