9. Одна сторона тупоугольного равнобедренного треугольника на 8 см больше другой. Периметр треугольника 38 см. Найдите стороны треугольника.

Решение:

Пусть стороны равнобедренного треугольника равны \( x \) см, \( x \) см и \( y \) см.

По условию, одна сторона на 8 см больше другой. Возможны два случая:

1. Случай 1: Основание больше боковой стороны.
   \( y = x + 8 \).
   Периметр: \( x + x + y = 38 \) \( \implies 2x + (x+8) = 38 \) \( \implies 3x = 30 \) \( \implies x = 10 \) см.
   Тогда \( y = 10 + 8 = 18 \) см.
   Стороны: 10 см, 10 см, 18 см.
   У этого треугольника тупой угол при основании, так как \( 10^2 + 10^2 = 200 < 18^2 = 324 \) (по теореме, обратной теореме косинусов, если квадрат большей стороны больше суммы квадратов двух других сторон, то угол, противолежащий большей стороне, тупой. В равнобедренном треугольнике тупой угол может быть только один, и он будет противолежащим основанию, но в данном случае тупым будет угол при основании).
   НО! Если мы рассмотрим углы при основании, то \( 2 \times 10^2 \) vs \( 18^2 \). \( 200 < 324 \). Это означает, что угол, противолежащий стороне 18, тупой. В равнобедренном треугольнике тупой угол может быть только один, и он находится при вершине, если основания больше боковой стороны. \( \cos A = \frac{10^2+10^2-18^2}{2 \cdot 10 \cdot 10} = \frac{200-324}{200} < 0 \) - угол А тупой. Значит, этот случай подходит.
2. Случай 2: Боковая сторона больше основания.
   \( x = y + 8 \).
   Периметр: \( x + x + y = 38 \) \( \implies 2(y+8) + y = 38 \) \( \implies 2y + 16 + y = 38 \) \( \implies 3y = 22 \) \( \implies y = \frac{22}{3} \) см.
   Тогда \( x = \frac{22}{3} + 8 = \frac{22+24}{3} = \frac{46}{3} \) см.
   Стороны: \( \frac{46}{3} \) см, \( \frac{46}{3} \) см, \( \frac{22}{3} \) см.
   Проверим, будет ли этот треугольник тупоугольным. \( (\frac{46}{3})^2 + (\frac{46}{3})^2 \) vs \( (\frac{22}{3})^2 \). \( 2 \cdot (\frac{2116}{9}) \) vs \( \frac{484}{9} \). \( \frac{4232}{9} > \frac{484}{9} \). Угол, противолежащий основанию, острый. Углы при основании: \( \cos B = \frac{(\frac{46}{3})^2 + (\frac{22}{3})^2 - (\frac{46}{3})^2}{2 \cdot \frac{46}{3} \cdot \frac{22}{3}} = \frac{(\frac{22}{3})^2}{2 \cdot \frac{46}{3} \cdot \frac{22}{3}} > 0 \). Углы при основании острые. Этот треугольник остроугольный.

Ответ: Стороны треугольника равны 10 см, 10 см, 18 см.