13) Решить уравнение: log_3 (2x² + 4x – 16) = log_3(x² + x - 6) .

Решение:

Решим логарифмическое уравнение \( \log_3 (2x^2 + 4x - 16) = \log_3 (x^2 + x - 6) \).

Для начала найдём область допустимых значений (ОДЗ), при которых аргументы логарифмов положительны:

1. \( 2x^2 + 4x - 16 > 0 \)

Разделим на 2: \( x^2 + 2x - 8 > 0 \). Корни уравнения \( x^2 + 2x - 8 = 0 \) найдём по теореме Виета: \( x_1 + x_2 = -2 \), \( x_1 x_2 = -8 \). Корни: \( x_1 = 2 \), \( x_2 = -4 \). Парабола ветвями вверх, значит, \( x \in (-\infty, -4) \cup (2, \infty) \).

2. \( x^2 + x - 6 > 0 \)

Корни уравнения \( x^2 + x - 6 = 0 \) по теореме Виета: \( x_1 + x_2 = -1 \), \( x_1 x_2 = -6 \). Корни: \( x_1 = 2 \), \( x_2 = -3 \). Парабола ветвями вверх, значит, \( x \in (-\infty, -3) \cup (2, \infty) \).

Общая ОДЗ: \( x \in (-\infty, -4) \cup (2, \infty) \).

Теперь приравняем аргументы логарифмов, так как основания равны:

\( 2x^2 + 4x - 16 = x^2 + x - 6 \)

Перенесём все члены в одну сторону:

\( 2x^2 - x^2 + 4x - x - 16 + 6 = 0 \)

\( x^2 + 3x - 10 = 0 \)

Найдём корни этого квадратного уравнения по теореме Виета:

\( x_1 + x_2 = -3 \)

\( x_1 x_2 = -10 \)

Корни: \( x_1 = 2 \), \( x_2 = -5 \).

Проверим корни на соответствие ОДЗ \( x \in (-\infty, -4) \cup (2, \infty) \).

• Корень \( x = 2 \) не входит в ОДЗ (аргумент логарифма будет равен 0).
• Корень \( x = -5 \) входит в ОДЗ (\( -5 < -4 \)).

Ответ: \( x = -5 \)